对工业界过程控制有时使用的以积分为主导控制作用的做法啰唆几句。
在学术上，控制的稳定性基本就是渐进稳定性，BIBO稳定性是没有办法证明渐进稳定性时的“退而求其次”的东西，不怎么上台面的。但是工业界里的稳定性有两个看起来相似、实质上不尽相同的方面：一个当然是渐进稳定性，不光逐渐稳定下来，而且向设定值收敛；另一个则是稳定性，但不一定向设定值收敛，或者说稳定性比收敛性优先这样一个情况。后者的情况就是需要PID控制系统稳定在还算靠谱的位置就可以了，多少接近设定值就行，要紧的是不要动来动去，是不是正好在设定值反而并不是太重要。这样的例子有很多，比如反应器的压力是一个重要参数，反应器压力不稳定，进料一会儿打得进去，一会儿打不进去，原料进料比例就要乱套，催化剂进料也不稳定，反应就不稳定。但是反应器的压力到底是2MPa还是2.5MPa并没有太大的关系，只要慢慢地但又稳定地向设定值收敛就足够了。这是PID控制理论里比较少涉及的一个情况，但这也是工业上时常采用积分主导的控制的一个重要原因。
系统的频率就是系统响应持续振荡时的频率，但是控制领域里有三拨人在倒腾：一拨是以机电类动力学系统为特色的电工出身，包括航空航天、火力控制、机器人等；一拨是以连续过程为特色的化工出身的，还包括冶金、造纸、化纤等；还有一拨是以微分方程稳定性为特色的应用数学出身的。在瓦特和抽水马桶的年代里，各坐各的山头，井水不犯河水，倒也太平。但控制从艺术上升为理论后，总有人喜欢“统一”各个山头。在控制理论的三国大战中，电工帮抢了先，好端端的控制理论里被塞进了电工里的频率。可是啊可是，这哪是频率啊，这是......复频率。既然那些“变态”的电工党能折腾出虚功率来，那他们也能折腾出复频率来。他们自虐倒也算了，只是苦了无辜之众，从此被迫受此精神折磨。
事情的缘由是系统的稳定性。前面提到，PID参数如果设得不好，系统可能不稳定。除了摸索，有没有办法从理论上计算出合适的PID参数呢？有的。动态过程可以用微分方程描述，其实在PID的阶段，这只是微分方程中很狭窄的一支：单变量定常系数线性常微分方程。要是还记得一点高数，一定还记得线性常微的解，除了分离变量法什么的，如果自变量时间用t表示的话，最常用的求解还是把eλt代入微分方程，然后解λ的代数方程(正式称呼是特征方程)，解出来的就是特征根。这可以是实数，也可以是复数。是复数的话，微分方程的解就要用三角函数展开了(怎么样，当年噩梦的感觉找回来一点没有)。实数根整个都是实部。复数根可以分解为实部和虚部，只要所有特征根的实部为负，那微分方程就是稳定的，因为负的指数项最终随时间向零收敛。虚部到底有多大就无所谓了，对稳定性没有影响，但对振荡频率有影响。但是，这么求解分析起来还是不容易，还是超不出“具体情况具体分析”，难以得出一般的结论。
如今法国排不进第一世界了，再自豪的法国人都不敢自称超级大国，但当年法国人是很牛的，除了凡尔赛宫和法国大餐外，还有很多厉害的数学家。其中一个叫拉普拉斯的家伙，捣鼓出一个拉普拉斯变换，把常微分方程变成s的多项式。拉普拉斯变换是数学变换的一种，而数学变换是数学世界里一个十分精妙的游戏。还记得尼古拉斯·凯奇主演的电影《国家财富》吗，淘宝人发现了一副奇妙的彩色偏振镜片，用不同组合，可以在《独立宣言》原稿背面看出不同的寻宝线索。这当然是骗票房的东西，但数学变换好比这彩色偏振镜片，从一个看似一堆混沌的东西里换一个角度去看，再换一个角度去看，可以看出很多奥妙来，尤其是结构性的特征。用拉普拉斯变换处理常微分方程也是这个意思，可以从看似无从入手的常微分方程里，提出与稳定性相关的特征信息来。对描述动态过程的微分方程施加拉普拉斯变换后，微分方程就变成了传递函数，这是经典控制理论的基础。这里面的数学细节说起来比较啰唆，还是留给严谨的教科书吧，昌晖仪表这里就不扯远了。
光拉普拉斯变换还不够，往s里代入jω，就是那个复频率，这就整出一个变态的频率分析，用来分析系统的稳定性。不过说变态，也不完全公平，在没有计算机的年代，各种专用图表是最有效的分析方法，还美其名曰“几何分析”，频率分析也不例外。美国人沃尔特·埃文斯(Walter Evans)在传递函数的基础上，搞出一个根轨迹(Root Locus)分析方法，思路倒是蛮有意思的。给定传递函数后，开环系统(还记得开环、闭环吗？开环就是没有反馈的，闭环就是带反馈的）的特征根是给定的，开环稳定不稳定就是它了。传递函数分子多项式的根为零点，分母多项式的根为极点。闭环之后，增益为零的话，就退化为开环情况。在增益逐步增大的过程中，增益锁定在每一个特定值时，都可以解出相应的特征根(不管是实的还是虚的)，可以在复平面(也就是说，纵轴为虚轴，横轴为实轴)上标出来。把不同增益下的特征根连接起来，就形成了根轨迹。
埃文斯还证明了有趣的一点：根轨迹必定从开环极点开始，以零点为终点；根轨迹的分支数正好为极点数，所以二阶系统有两条根轨迹，三阶系统有三条根轨迹等。由于正常系统的零点数总是少于极点数，“多出来”的根轨迹就以无穷大为终点。于是，最终形成的根轨迹好像从开环极点长出来的树杈，但像飞蛾扑火一样向开环零点汇聚，“无家可归”的根轨迹分支实在没有地方可去，没有零点作为归宿，只好孤寂地向无穷的幽深散发。要是根轨迹总是在左半平面打转，则说明实根为负，就是稳定的。再深究下去，系统响应的临界频率之类也可以计算出来了。
根轨迹最大的好处是，对于常见的系统，可以给出一套做图规则来，熟练的大牛、小牛、公牛、母牛们，对传递函数的形式用眼睛一瞄，随手就可以画出根轨迹来，然后就可以定性地告诉你，增益大概变化到多少，系统就要开始振荡，再增加多少，系统会不稳定，云云。
根轨迹还是比较客气的，还有更变态的奈奎斯特法、伯德法和尼科尔斯法，想想脑子都大了时至今日，计算机分析已经很普及了，但是古典的图示分析还是有经久不衰的魅力，就是因为图形分析不光告诉你当前系统是稳定还是不稳定，以及其他一些动态响应的参数，还定性地告诉你增益变化甚至系统参数变化引起的闭环性能变化。在什么都用计算机先算一遍的今天，定性分析依然有特殊意义。定量分析好比是树，可以精确地告诉你这里有一棵树，有多高多粗多老，但只有定性分析才能揭示出林，告诉你这里有很多树，而且这边大多是小树，大树主要在那边。定性分析指出大方向，这是数值计算正确性的概念保障。时至如今，不少人吃过盲目相信计算机数值计算结果的苦头，但要不盲目，靠什么呢？靠的就是对事物的定性认识，包括对方向性、数量级的认识。这些折磨脑子的图形分析就是干这个用的(咦，刚才还不是在说人家变态吗？呃，变态也有变态的魅力不是？)。
作者：晨枫
