大家接触到控制理论时常感觉枯燥乏味，昌晖仪表网技术文库栏目以大话形式推出一系列介绍控制理论的文章，分别介绍线性控制、最优控制、离散控制模型与辨识、自适应控制模型预估控制方面的内容。
大话现代控制理论之最优控制篇
搞控制的有三波人：电工出身的，化工出身的，还有应用数学出身的。在卡尔曼之前，电工出身的占主导地位，数学家们还在象牙塔里打转转，不知道外面世界的精彩，化工出身的则还对控制理论懵懵懂懂，还在“实干”呢。卡尔曼之后，一大批数学出身的人利用对数学工具的熟悉，转攻控制理论。一时间，控制理论的数学化似乎成了“天下大势，浩浩荡荡，顺我者昌，逆我者亡”了。在状态空间的框架下，多变量的问题容易研究，很快被一扫而光，剩下的都是难啃的硬骨头，于是最优化成为控制理论的新时尚。
对于一根给定的曲线，一阶导数为零的点，就是这个曲线的极点；再对这一极点求二阶导数，就可以确定这是最大点、最小点还是驻点(单调上升或者下降曲线中一个过渡的水平段)。这是牛顿老爷子就整明白的东东，现在高中或大学人人都学过这一套。但是动态系统是一个微分方程，对微分方程求一阶导数为零(采用变分法或所谓的欧拉方程。用变分法可以计算出两点之间最小距离为直线，还可以计算出最小阻力的下滑曲线是抛物线。很奇妙的东西，但这东西用起来不方便。实际的最优控制不大直接使用变分。
俄罗斯是一个奇怪的地方。俄国人要么蔫蔫的，要么疯狂的。俄罗斯的悲剧文学看得你也郁闷地想去自杀。据说《安娜·卡列尼娜》原著连载到最后，真有人追随安娜去卧轨了。但是俄国人要是搭错筋整出一个喜剧呢？那你要么跟着疯狂，要么被逼疯狂。就是这么一个地方，除了托尔斯泰、柴可夫斯基、普希金、列宾等文艺巨璧外，也盛产数学家，其中两个是列夫·庞特里亚京和学控制的人老惦记着的亚历山大·李亚普诺夫。
庞特里亚京的极大值原理听起来吓人，说白了其实很简单。看见那山了吗？山顶就是最高点(切，这还用说？)，这就是无约束最优化问题；看见那山了吗？要是在山腰画一道线，线那边是禁区，那从山下往上爬，尽管山坡还在继续往上延伸，山顶还更高，但是到线为止，不得逾越，那山腰上那道“三八线”就是最高点(切，这还用说？)，这变成了约束最优化问题。当然，山腰那道“三八线”要是画到山背面去了，可以无限制地爬上山顶，这山顶还是最高点，又回归到无约束最优化问题了。这就是庞特里亚京极大值原理的基本原理。当然啦，庞特里亚京是用精巧、深奥的数学语言表述的，要不然他在数学界里也别混了。不过呢，意思就是这么一个意思。
图1 最高点在哪里？羊走得到的最高的地方，最高点就在那里
庞特里亚京极大值原理的一个典型应用就是所谓最速控制问题，或者叫时间最优控制(Time Optimal Control)问题。简单地说，就是给定最大马力和最大制动功率，问题是怎么开汽车能够最快地从A点开到B点(什么转弯、上下坡、红绿灯，这种琐碎的事情也要拿来烦人？一点品味都没有！)。你可以用优美但烦琐的数学求证，或者用膝盖想想：最快的方法，就是一上来就一脚油门踩到底，加足马力，全速前进；然后在终点前的某一地点，一脚制动踩到底，全力减速，使慢下来的汽车在触及终点时正好停下来。这是最快的方法，不可能比这更快了。稍微发挥一点想象力，可以想象：一上来就“梆”地一下，加速踏板一脚到底；再掐好时机“梆”地一下，制动踏板一脚到底，坐等车子漂移到终点线正好停下来，控制任务就完成了。所以最速控制也叫“梆－梆”控制(Bang Bang Control)。
图2 从A到B要最快该怎么开？一起动就油门踩到底，算好差不多了制动踏板踩到底，正好飘到停车线停下。这是最快的，不可能更快了。这就是最速控制，也叫“梆-梆”控制
最速控制在理论上是一个很有趣的问题，解法也很简洁、优美，但在实际中直接使用的例子实在是凤毛麟角。一般都是开始时用放水版的“梆-梆”，或者快速但均匀加减速到控制极限，以缓和控制的冲击力；到终点附近时，改用PID做闭环微调，以克服“梆-梆”对系统模型误差十分敏感的缺点。电梯控制就是这样一个例子：电梯要从一楼到四楼，一起动电动机就很快匀速上升到最高转速，一过三楼，电动机转入PID控制，根据电梯实际位置和楼面位置之差，有控制地减速，直至停下来。要是控制参数调得好，一下子就稳稳当当地停下来了。
最速控制问题是较早的最优控制问题，它提供了一个很有趣的思路，但这颗树上开花结果不多。相比之下，最优控制的另外一支却枝繁叶茂，有生气得多了。这一支就是线型二次型最优控制(Linear Quadratic Control).数学是有趣的，但数学也是盲目的。在数学上，最优化问题就是一个在曲面上寻找凸点(或者凹点，两者在数学上是等价的)的问题，只要你能把一个物理问题表述成一个曲面，数学是不理会芙蓉姐还是黛玉妹的。既然如此，偏差的二次方在时间上的积分就是很自然的最优化目标函数。二次方抹杀了正负偏差的区别，时间积分则一网打尽从过去到现在所有时间的偏差。累计都最小化了，任意时间上的瞬时偏差肯定也小。二次型就是二次方在线性代数里的说法。
线型系统的偏差二次方有很好的性质，这山峰是一个馒头山，平滑光顺，形状规整，没有悬崖峭壁，没有沟壑坎坷，容易爬；一山只有一峰，不用担心找错地方。不过这山峰不能只包含控制偏差，还要包含控制量，原因有三个：
1)如果不包括控制量，那最优控制的解是没有意义的，因为无穷大的控制量可以使累计二次方偏差为无穷小，但无穷大的控制量是不现实的。
2)控制量的大小通常和能量、物料的消耗连在一起，实际控制问题一般是“在最小能量、低消耗情况下达到最高的控制精度”，所以在“山峰”中同时包含偏差和控制量是很自然的，这确保偏差和控制量均衡地同时达到最小。
3)系统模型总是有误差的，误差“总是”在高频、大幅度控制作用下最突出，为了降低系统对模型误差的敏感性，也有必要限制控制量的大小和“活跃度”。
所以，线性二次型最优控制的“目标函数”(也就是山峰形状的数学表述)是一个控制偏差和控制量各自二次方的加权和的积分。积分当然就是“在时间上的累积”了，加权和其实就是在控制偏差的二次方项和控制量的二次方项前分别乘以比例因子，然后再相加。两个比例因子的具体数值不太重要，但相对大小决定了谁更重要。如果偏差项的加权更大，则控制精度的要求更高，但控制量就相对放任一点；如果控制项的加权更大，则控制量的使用就精打细算，而偏差就不能要求太高了。鱼和熊掌总是不能兼得的，两种做法各有各的用处。对于高精度但不惜工本的控制问题，偏差项加权可以大一点；对于马马虎虎就行了但要勤俭持家的控制问题，控制项加权应该大一点。
运用矩阵微分和线性代数工具，不难导出线性二次型控制律，而且这是一个基本的状态反馈控制律！只是反馈增益矩阵是按最优化的要求计算出来的，而不是线性控制里按照零极点配置计算出来的。
线性二次型最优控制开创了一整个新的控制领域，很快从状态空间走出来，进入其他领域，繁衍子孙，人丁兴旺。这一支是当今最优控制在实际应用中的主体。
线性二次型控制具有各种各样的优点，但是，线性二次型没有回答一个最基本的控制问题：这个闭环系统是不是稳定。这里，我们饱受惦记的怪人李亚普诺夫出场了，李亚普诺夫也是一个脑子搭错筋的人，一百多年前，玩微分方程玩邪了门，整出两个稳定性(或者叫作收敛性)的定理。前一个没有什么太了不起的，就把非线性系统局部线性化，就是把一根曲线用很多一小段、一小段的直线近似，然后按线性来分析。后一个就有点邪门了，老李琢磨出一个定理，说是对于任意一个系统，如果能找到一个自我耗散的能量函数(能量函数在数学中也叫作正定函数)，也就是其数值永远为正，但随时间渐进地趋向零，或者说如果这个能量函数对时间的导数永远为负，那这个系统就是稳定的。据说定理的证明是一个天才的杰作，我等凡人只有频频点头的份。不过想想也对，系统的能量都耗散没了，系统不也就消停下来了吗？当然就稳定喽。
李亚普诺夫比卡尔曼还要数学家，他的定理只给出“如果存在......就......”，怎么找这个自我耗散的能量函数他没说，这个函数一般是什么样的他也没说。这难不倒搞自动控制的广大善男信女。不是要正定函数吗？不是对正定函数的形式没有限制吗？那就用偏差的二次方吧。二次方了就永远是正的，正好符合李亚普诺夫的要求。那自我耗散呢？先求导再说，不是有反馈增益矩阵吗？凑凑弄弄，说不定能凑出个导数为负。
说干就干，但是干着干着，好玩的事情出现了，对偏差二次方(或二次型)的求导，导出了和线性二次型最优控制推导过程中同样出现的所谓黎卡蒂方程(Riccati Equation),感情这是殊途同归呀！
换句话说，线性二次型控制总是稳定的。想想也对，线性二次型的时间积分是从零到无穷大，只有偏差渐进趋向零了，或者说闭环系统是渐进稳定的，这时间积分才是有限的，否则时间积分本身就是发散的，也谈不上什么最优了。这是线性二次型控制的一个重要贡献：把最优性和稳定性连到一起。这也指出了一个非常重要的事实：控制理论在本质上是数学，数学是相通的，可以殊途，但弄到最后，总是同归。不同的方法弄到最后常常是等价的。
再扯一句李亚普诺夫，他的第二个定理非常威猛，但是有点像一个奇形怪状的大锤，到现在人们还在找合适的钉子，好用这把大锤砸几下。线性二次型控制是已知的仅有的几个钉子之一，另一个是变结构控制(Variable Structure Control),也称滑模控制(Sliding Mode Control)，适用于很大一类非线性问题，也可以用李亚普诺夫方法。只要存在一个稳定的线性“滑模”，就可以计算出确保稳定的控制律。但除了特殊结构(或者说处于特定标准型)的系统，这个稳定的线性滑模很不容易找。换句话说，正面攻不上，可以试图侧面攻，似乎势如破竹，直捣龙门。但存在真正艰难的“硬核”的话，换个方向攻，最后撞上的是同一个硬核的另一个面，真是又殊途同归了。本质艰难的问题弄到最后还是要硬啃，绕是绕不过去的。但这是题外话了。
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作者：[加]晨枫