曾经有个说法：很多人死于25岁，但埋葬于75岁。意思是说，25岁以后人的思想观念开始固化了，也就很难进步了。所以，人们要尽可能在25岁之前具备学习和反思能力。具备反思能力的特点之一，是“脑子里容得下矛盾的观点”。

读数学系给笔者带来的一个重要好处是理解了非欧几何。笔者父亲是中学老师。笔者读中学时他就告诉有所谓的“非欧几何”。在这个学科中，三角形内角之和不等于180度、平行线可以相交等。老爸觉得这门学问很奇怪，他不明白。

我理解非欧几何，与学习微分几何有关。开始的时候不仅不明白、也说不清为什么不明白。36年过去了，我甚至还清楚地记得，余老师在黑板上画了几条曲线，给我解释什么是“局部微分几何学”。后来不知道怎么就明白了，博士期间读Isidori 的《Nonlinear Control Systems》的时候就特别顺。

非欧几何本质是一个逻辑体系。这个体系的存在，证明“平行公理”和欧氏几何的其他公理是独立的，不能从其他公理推导出来。这就证明了：“平行公理”是不可能证明的。“平行公理”的独立性，只要找到一个案例(模型)就可以了。非欧几何的模型其实很多，球面就是一个典型。在球面模型中，地球上的经线都是“平行线”，它们都相交于南北两极。所以，“平行线会相交”。

回过头来看，理解非欧几何的关键是放弃欧氏几何中对“点、线、面”的“执念”。正如希尔伯特说的：可以把桌子、椅子、茶杯叫做“点、线、面”。数学本质上是从公理体系出发的逻辑体系。所以，数学本质上不是自然科学、是人造的理论。但奇妙的是：这种理论可以用于描述各种客观世界。

非欧几何消除了“点、线、面”的“执念”，但守住了“逻辑”的底线。

明白非欧几何以后，就容易理解相对论了。与数学不同，相对论是自然科学。自然科学的本质是实验科学。既然是实验科学，物理学的概念就必须是“可测量的”。比如，什么是“力”、“长度”、“质量”、“时间”。再如，宇宙大爆炸之前是没有时间和空间概念的：因为人们找不到可以测量时间的“钟表”和测量长度的“尺子”。

物理学要解释自然现象。与相对论有关的一个重要事实是：光速是不变的。人们很容易理解，如果光速不变，会引发很多逻辑上的矛盾。爱因斯坦坚信：物理学定律应该是不变的。如果物理学定律不变、光速也是不变的，只能是测量结果变化了，也就是“钟表”、“尺子”等会随着观察者的不同发生改变。所以，不同的人，对时间和距离的测量结果就不一样。

相对论距离我们并不遥远。爱因斯坦曾经与人合著一本科普著作《物理学的进化》。在这本书中，讲到了电梯自由落体的例子。爱因斯坦指出：如果电梯是完全封闭的，电梯中的人无论怎么做实验，都无法判断自己处于自由落体状态还是匀速直线运动的状态。所以，需要找到一种理论上的逻辑，让两种认识统一起来。于是，爱因斯坦认为：引力会引发空间的变化。这就是广义相对论了。

理解非欧几何以后，虽然推算不出对应的数学公式，但却容易理解这种思想。同样的道理，可以去解释空间站的失重。空间站中距离地面只有几百公里。按万有引力定律，地球引力是地面上的80%左右，为什么会失重呢？这个问题可以用牛顿定律来解释，但同样也可以从相对论的角度解释：如果飞船是完全封闭的，宇航员可以认为自己做匀速直线运动。

由此可见，相对论不仅守住了逻辑的底线，还守住了“物理定律一致性”、“客观事实唯一性”的底线。

有人强调爱因斯坦的伟大时，经常拿牛顿做对比。他们的一个理由是：牛顿认为时间是均匀变化的。笔者读《自然哲学的数学原理》时，确实发现牛顿给出了这个假设。但有意思的是：牛顿对这个假设做了特殊的说明。牛顿解释说：之所以这么假设，首先是因为这么假设最简单，并且没有相反的案例。所以，“时间变化不均匀”其实早就是牛顿预料之中的事情了。

牛顿力学定律很简单，但发现牛顿定律却非常不简单。当我们用“物理学是实验科学”的原理去重新审视牛顿定律时，应该感觉非常惊叹：世界为什么这么简单呢？

对数学和物理学的深入理解，有利于培养哲学思维。

数学不是自然科学，哲学同样不是自然科学。例如，哲学上讲“物极必反”：事物发展到一定的程度，就会走向反面。所以，疫情坏到一定程度，就会出现曙光。这个观点是不需要验证的、肯定是正确的。但正确的观点为什么不是科学呢？因为这个观点没有给出测量和预测“极点”的办法。

从事科学研究和技术创新的人，应该培养自己的哲学思维。哲学素养好的人遇到问题时，往往会意识到：同一件事会有多个侧面、多种原因、多种解释。这样，就不容易陷入固有想法的“执念”。但是，在科学研究中，可能性有许多、真理却只有一条、真相只有一个。在多种解释中，哪种是对的呢？找出唯一正确的解释和真相，就是自然科学的问题。

如果一个人的逻辑混乱，就会“容得下矛盾观点”；然而，无论是非欧几何还是相对论，都是在逻辑严密的前提下，“容得下矛盾观点”。“在逻辑严密的前提下容得下矛盾观点”，往往是创新者必备的素质。遇到问题时，应该鼓励大家主动地从不同的视角看问题。

可惜的是：我国的教育恰恰缺乏了这一点。笔者曾经将对“失重”的看法发在微博上。结果，却引来某顶级高校一个班级同学的围攻。他们认为：明明可以用经典物理学解释的问题，为什么要用相对论呢？空间站的运动速度这么慢，值得用相对论吗？有人甚至采用了人身攻击的言辞。我还记得，有位中科大物理系的网友(网名“朗道十论”)试图给他们解释，同样也遭到了围攻。这件事曾经让我非常失望：不是因为受到围攻，而是因为对教育的失望。

最近网上的热点很多。很多人因为观点不同，相互拉黑了。但笔者的朋友圈中，各种人都会有：笔者希望通过他们的争论，让脑子中容下不同的观点，走向老年痴呆的速度慢一点。

下面这张图很有意思。不过，思想的进步不仅是靠读书，还要靠实践、靠思考。

来源：仪表圈/作者：郭朝晖(工学博士，教授级高工。企业研发一线工作20年；优也科技信息公司首席科学家；东北大学、上海交大等多所院校兼职教授。国内知名智库、走向智能研究院的发起人之一。原宝钢研究院首席研究员)